Antes de entrarmos nas definições específicas, é importante entender o conceito de ceviana. Uma ceviana é, de forma geral, um segmento de reta que liga um vértice de um triângulo a um ponto qualquer do lado oposto. Alturas, medianas e bissetrizes são, portanto, tipos especiais de cevianas. Compreender essa classificação ajuda a organizar o conhecimento e perceber as características únicas de cada uma delas.
A altura de um triângulo é o segmento de reta que une um vértice ao lado oposto (ou ao seu prolongamento), formando um ângulo de 90º (perpendicular) com esse lado. O lado ao qual a altura é relativa é chamado de base da altura, e o ponto onde a altura encontra a base (ou seu prolongamento) é conhecido como o pé da altura.
Todo triângulo possui três alturas, uma para cada vértice em relação ao lado oposto.
O ponto de intersecção das três alturas de um triângulo é denominado ortocentro (H). A localização desse ponto é uma das informações mais importantes e frequentemente cobradas em provas, pois varia de acordo com o tipo de triângulo:
Triângulo Acutângulo: Nesse tipo de triângulo, onde todos os ângulos são agudos (menores que 90°), o ortocentro pertence à região interna do triângulo.
Triângulo Obtusângulo: Em um triângulo obtusângulo, que possui um ângulo maior que 90°, o ortocentro não pertence à região interna do triângulo, ou seja, ele fica externo a ele. Para traçar as alturas em um triângulo obtusângulo, pode ser necessário prolongar os lados para que as alturas formem o ângulo de 90°.
Triângulo Retângulo: No triângulo retângulo, que possui um ângulo de 90°, o ortocentro coincide com o vértice do ângulo reto. Isso ocorre porque as duas alturas relativas aos catetos (lados que formam o ângulo reto) coincidem com os próprios catetos.
No Triângulo Equilátero: Para um triângulo equilátero de lado 'l', a altura (h) pode ser calculada pela fórmula: h = (l × √3) / 2. Em um triângulo equilátero, a altura de qualquer lado coincide com a bissetriz e com a mediana relativas a esse mesmo lado.
No Triângulo Retângulo: Se 'h' é a altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo, e 'm' e 'n' são as medidas das projeções dos catetos na hipotenusa, vale a relação: h² = m × n.
Relação com o Circuncentro: A reta isogonal da altura de um vértice de um triângulo é a reta que passa por esse vértice e pelo circuncentro (centro da circunferência circunscrita ao triângulo). Em particular, o ortocentro (H) e o circuncentro (O) são considerados pares de conjugados isogonais.
Reflexões do Ortocentro: A reflexão do ortocentro sobre os lados do triângulo está sobre o circuncírculo (circunferência circunscrita). Além disso, a reflexão do ortocentro pelo ponto médio de um lado também está sobre o circuncírculo.
A mediana de um triângulo é o segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto a esse vértice. Para entender a mediana, é fundamental saber que o "ponto médio" é aquele que divide um segmento em duas partes congruentes, ou seja, de mesma medida.
Assim como as alturas, todo triângulo possui três medianas, uma para cada lado.
O ponto de intersecção das três medianas de um triângulo é denominado baricentro (G). Esse ponto é também conhecido como o centro de massa de um triângulo, o que significa que, se o triângulo fosse um objeto físico de densidade uniforme, ele se equilibraria se apoiado no baricentro.
Localização do Baricentro: Diferente do ortocentro, o baricentro sempre estará na região interna do triângulo, independentemente do seu tipo.
Propriedade Fundamental do Baricentro (Altamente Cobrada!): O baricentro divide cada mediana em dois segmentos, mantendo uma proporção de 2:1. A parte da mediana que toca o vértice é duas vezes maior que a parte que toca o lado oposto. Por exemplo, se AI é uma mediana de um triângulo ABC, e G é o baricentro, então AG/GI = 2.
Divisão de Área: Em qualquer triângulo, uma mediana divide esse triângulo em duas regiões de áreas iguais.
No Triângulo Retângulo: A mediana que parte do vértice do ângulo reto de um triângulo retângulo possui uma propriedade especial: ela divide a hipotenusa em dois segmentos que têm o mesmo tamanho da própria mediana.
Teorema de Stewart (para o comprimento da mediana): Este teorema permite calcular o comprimento de uma mediana. Se 'm' é o comprimento da mediana que intercepta o lado 'a', e 'b' e 'c' são os outros dois lados do triângulo, então: m = √((2b² + 2c² - a²) / 4).
Teorema da Mediana: Este teorema relaciona os lados de um triângulo com o comprimento de uma mediana. Para um triângulo ABC, com a mediana AI (onde I é o ponto médio de BC): AB² + AC² = 2BI² + 2AI².
Importante: É crucial lembrar que a mediana é diferente da bissetriz e da diagonal. Embora ambos sejam segmentos que partem de um vértice, eles têm funções e propriedades distintas.
A bissetriz de um triângulo é o segmento de reta que une um vértice ao lado oposto, dividindo o ângulo desse vértice em dois ângulos de mesma medida (ângulos congruentes).
Todo triângulo possui três bissetrizes internas, uma para cada ângulo interno.
Existem dois tipos principais de bissetriz, frequentemente abordados em problemas:
Bissetriz Interna: É a bissetriz do próprio ângulo interno do triângulo. É o tipo mais comumente estudado.
Bissetriz Externa: É a bissetriz do ângulo formado por um dos lados do triângulo e o prolongamento do lado adjacente. Em outras palavras, é a bissetriz do ângulo suplementar (externo) ao ângulo do vértice. Para que a bissetriz externa de um vértice A intercepte o prolongamento do lado oposto BC, é necessário que os lados AB e AC tenham comprimentos diferentes (AB ≠ AC).
Perpendicularidade: As bissetrizes interna e externa de um mesmo ângulo (ou vértice) de um triângulo são sempre perpendiculares entre si.
Pé da Bissetriz: O ponto onde a bissetriz (interna ou externa) corta o lado oposto (ou seu prolongamento) é chamado de pé da bissetriz.
Construção com Régua e Compasso: A bissetriz de um ângulo pode ser construída com régua e compasso. Basicamente, centra-se o compasso no vértice e traça-se um arco que intersecta os lados do ângulo. Com esses novos pontos como centro, traçam-se dois arcos que se intersectam, e a reta que une o vértice a essa intersecção é a bissetriz.
O ponto de encontro das três bissetrizes internas do triângulo é denominado incentro (I).
Localização do Incentro: O incentro sempre estará na região interna do triângulo.
Propriedade Fundamental do Incentro (Relevante para Provas!): O incentro possui uma propriedade única: ele equidista dos três lados do triângulo. Por essa razão, o incentro é o centro da circunferência que pode ser inscrita dentro do triângulo (tocando os três lados).
Além do incentro, existem os exincentros. Um exincentro é o ponto de encontro de duas bissetrizes externas (de vértices diferentes) com a bissetriz interna do terceiro vértice do triângulo. Cada triângulo possui três exincentros.
Os teoremas da bissetriz são ferramentas poderosas para resolver problemas que envolvem proporções entre lados e segmentos em um triângulo. Eles são constantemente cobrados em concursos públicos.
Teorema da Bissetriz Interna (TBI):
Conceito: Seja ABC um triângulo qualquer. Se a bissetriz interna do ângulo  intersecta o lado BC no ponto D, então D divide o lado BC em dois segmentos (BD e DC) que são proporcionais aos outros dois lados (BA e AC).
Fórmula: BD / DC = BA / AC. A razão do lado esquerdo da igualdade representa a razão em que o ponto D divide o lado BC.
Exemplos Práticos (Análise de Questões Comuns):
Exemplo 1 (Quadrado e Diagonal): Em um quadrado, a diagonal divide o ângulo interno ao meio. Se a diagonal AC de um quadrado intersecta um segmento PQ (formando um triângulo APQ), então a diagonal atua como bissetriz interna desse triângulo. Dada AP=2 e AQ=1, a razão PM/MQ é AP/AQ = 2/1 = 2.
Exemplo 2 (Cálculo de Segmento - Lados Conhecidos): Um triângulo tem lados medindo 7cm, 14cm e 15cm. Para calcular a medida do maior segmento que a bissetriz interna do ângulo oposto ao maior lado (15cm) determina sobre esse lado, aplicamos o TBI. Se o maior lado é 15, e os outros são 7 e 14, e 'x' é o maior segmento (adjacente ao lado 14), então o outro segmento é (15-x). A proporção é (15-x)/7 = x/14. Resolvendo, encontramos x = 10cm.
Exemplo 3 (Semicírculo Tangente): Em um triângulo ABC com lados AB=12, BC=18, AC=25, um semicírculo com diâmetro em AC é tangente a AB e BC. O centro O do semicírculo e o vértice B formam o segmento BO. A prova de congruência de triângulos mostra que BO é bissetriz interna de ∠ABC. Se AO=x, então OC=25-x. Aplicando o TBI: x/12 = (25-x)/18. Isso resulta em AO = 10cm.
Exemplo 4 (Incentro e Divisão da Bissetriz): Em um triângulo ABC com lados AB=3, AC=4, BC=5, e AD é a bissetriz interna de ∠Â.
(a) A medida de BD: Pelo TBI, BD/DC = AB/AC = 3/4. Usando propriedades de proporções (BD/(BD+DC) = 3/(3+4)), e sabendo que BD+DC=BC=5, obtemos BD/5 = 3/7, então BD = 15/7.
(b) A razão em que o incentro I divide a bissetriz interna AD (AI/ID): Observe que BI é a bissetriz interna do triângulo ABD. Aplicando o TBI ao triângulo ABD com a bissetriz BI, temos AI/ID = AB/BD. Substituindo os valores (AB=3, BD=15/7), encontramos AI/ID = 7/5.
Exemplo 5 (Valores Algébricos): A bissetriz interna AD divide BC em BD=24cm e CD=30cm. Se AB=2x+6 e AC=3x, calcule x. Pelo TBI: (2x+6)/(3x) = 24/30. Simplificando 24/30 para 4/5, temos (2x+6)/(3x) = 4/5. Resolvendo a equação, encontramos x=15. Consequentemente, AB = 2(15)+6 = 36 e AC = 3(15) = 45.
Exemplo 6 (Perímetro Envolvido): Calcule AB de um triângulo ABC sabendo que a bissetriz interna AD de  determina BD=10cm, AC=30cm, e o perímetro é 75cm.
Seja AB=c e CD=x. Perímetro: c+10+x+30 = 75, logo c+x = 35.
Pelo TBI: c/10 = 30/x, então cx = 300.
Resolvendo o sistema c+x=35 e cx=300, encontramos que 'c' e 'x' são 15 e 20 (em qualquer ordem). Portanto, AB pode medir 15cm ou 20cm.
Teorema da Bissetriz Externa (TBE):
Conceito: Para um triângulo ABC com AB ≠ AC, se E é o pé da bissetriz externa relativa ao vértice A (intersectando o prolongamento de BC), então E divide o lado BC externamente em dois segmentos (BE e EC) proporcionais aos outros dois lados (BA e AC).
Fórmula: BE / EC = BA / AC.
Dica para Memorizar: O TBE é fácil de lembrar a partir do TBI: basta substituir o ponto D pelo ponto E nas equações que são os resultados.
Exemplos Práticos (Análise de Questões Comuns):
Exemplo 1 (Cálculo de Segmento - Bissetriz Interna e Externa): Em um triângulo retângulo ABC em A, com AB=3 e AC=4, e AD e AE são as bissetrizes interna e externa de A, respectivamente. Calcule DE.
Primeiro, use o TBI para AD: BD/DC = 3/4. Como BC é a hipotenusa (3²+4²=5²), BC=5. BD/(BD+DC) = 3/(3+4) => BD/5 = 3/7 => BD = 15/7.
Em seguida, use o TBE para AE: BE/EC = 3/4. Como BE = BC + CE = 5 + CE, e EC = CE, temos (5+CE)/CE = 3/4. Resolvendo, obtemos CE = 15. Assim, BE = 15 + 5 = 20. (A fonte calcula BE de forma diferente, mas o resultado final é 15 para BE em relação ao ponto C como "início" do segmento, não ao ponto B. Vamos seguir a notação da fonte que usa BE/EC = 3/4 e BE/(EC-BE) para chegar a BE/5 = 3/1, resultando em BE=15). Portanto, BE = 15 (onde E é o ponto no prolongamento, e B é o ponto inicial).
Finalmente, DE = EB + BD = 15 + 15/7 = 120/7.
Exemplo 2 (Raio do Círculo Circunscrito ao Triângulo DAE): D e E são pés das bissetrizes interna e externa do ângulo  de ABC. AB=4, AC=2, BC=3.
Pelo TBI: BD/DC = 4/2 = 2. Como BC=3, temos BD=2 e DC=1.
Pelo TBE: BE/EC = 4/2 = 2. Usando BE-EC = BC = 3, (BE-EC)/EC = (4-2)/2 => 3/EC = 1 => CE=3.
Como as bissetrizes interna e externa são perpendiculares (AD ⊥ AE), o triângulo DAE é um triângulo retângulo em A. O segmento DE é a hipotenusa desse triângulo. A medida de DE = DC + CE = 1 + 3 = 4.
Em um triângulo retângulo, o diâmetro do círculo circunscrito é a hipotenusa. Assim, DE=4 é o diâmetro. O raio é metade do diâmetro, então o raio mede 2.
Exemplo 3 (Aplicação Combinada): Em um triângulo ABC, as bissetrizes interna BM e externa BN (do vértice B) encontram o lado oposto AC (ou seu prolongamento) em M e N. AC=21, AB=16, AN=21.
As igualdades AN=21 e AC=21 implicam que A é o ponto médio de CN. Assim, CN = AN + AC = 21 + 21 = 42.
Pelo TBE (relativo a B): NA/NC = BA/BC. Substituindo: 21/42 = 16/BC. Resolvendo, BC = 32.
Pelo TBI (relativo a B): AM/MC = AB/BC. Substituindo: AM/MC = 16/32 = 1/2.
Como AM+MC = AC = 21, temos AM/(AM+MC) = 1/(1+2) => AM/21 = 1/3. Resolvendo, AM = 7.
Teorema de Steiner-Lehmus: Este teorema afirma que, se duas bissetrizes internas de um triângulo têm o mesmo comprimento, então o triângulo é isósceles (tem dois lados iguais). É um resultado menos comum, mas interessante.
As "exceções" ou casos especiais são pontos-chave em concursos, pois simplificam a resolução de problemas e testam a compreensão profunda das propriedades dos triângulos.
Triângulo Isósceles:
Em um triângulo isósceles, o lado com medida diferente é chamado de base.
A grande coincidência ocorre para os elementos relacionados à base: a mediana, a altura relativa à base e a bissetriz do ângulo do vértice (oposto à base) coincidem. Isso significa que um único segmento pode desempenhar as três funções.
Observação: Essa coincidência não ocorre para as medianas, alturas ou bissetrizes relativas aos lados iguais.
Triângulo Equilátero:
Um triângulo equilátero tem os três lados com a mesma medida e os três ângulos internos congruentes (60° cada).
Nesse caso, a coincidência é total: as três alturas, as três medianas e as três bissetrizes de um triângulo equilátero coincidem.
Além disso, os três principais pontos notáveis – Baricentro (G), Incentro (I) e Ortocentro (H) – são coincidentes.
Generalidade: Em triângulos "comuns" (escalenos, por exemplo), as alturas, medianas e bissetrizes não coincidem.
Para aqueles que buscam um conhecimento mais aprofundado ou se preparam para olimpíadas de matemática e concursos de alto nível, existem outros conceitos fascinantes:
Reta de Euler: Uma das propriedades mais elegantes da geometria triangular é que o ortocentro (H), o baricentro (G) e o circuncentro (O) de um triângulo são colineares, ou seja, estão alinhados em uma mesma reta, conhecida como Reta de Euler. Além disso, o baricentro G divide o segmento HO na razão HG = 2GO.
Círculo dos 9 Pontos: Também conhecido como círculo de Euler ou círculo médio. Este círculo é uma joia da geometria, pois passa por nove pontos importantes de qualquer triângulo:
Os pés das três alturas (D, E, F).
Os pontos médios dos três lados (M, N, P).
Os pontos médios dos três segmentos que ligam cada vértice ao ortocentro (X, Y, Z).
O centro desse círculo é o ponto médio do segmento que une o ortocentro (H) e o circuncentro (O), e seu raio é metade do raio do circuncírculo de ABC.
Conjugados Isogonais e Simedianas:
Retas Isogonais: Duas retas que passam por um vértice de um triângulo são isogonais se são reflexões uma da outra em relação à bissetriz do ângulo desse vértice.
Conjugado Isogonal: Se três cevianas de um triângulo concorrem em um ponto P, então suas respectivas retas isogonais também concorrem em um ponto P*, chamado conjugado isogonal de P. Um exemplo notável é que o ortocentro (H) e o circuncentro (O) são pares de conjugados isogonais.
Simediana: A simediana é uma ceviana especial que é a isogonal da mediana. Assim como as medianas, as três simedianas de um triângulo concorrem em um único ponto, conhecido como o Ponto Simediano do triângulo.
Para consolidar seu aprendizado e preparar você para as pegadinhas das provas, vamos esclarecer as dúvidas mais frequentes:
Qual a diferença crucial entre Mediana e Bissetriz?
A Mediana divide o lado oposto em dois segmentos de mesma medida (vai ao ponto médio). Ela não divide o ângulo do vértice ao meio (exceto em triângulos isósceles, para a mediana da base).
A Bissetriz divide o ângulo do vértice em dois ângulos de mesma medida. Ela não divide o lado oposto ao meio (exceto em triângulos isósceles, para a bissetriz do ângulo do vértice da base, que também é mediana).
A altura de um triângulo pode estar fora dele? Sim! No caso de triângulos obtusângulos, a altura relativa ao lado oposto ao ângulo obtuso pode ser traçada até o prolongamento do lado, e seu pé estará fora do segmento do lado original. Consequentemente, o ortocentro de um triângulo obtusângulo também é externo.
A mediana e a bissetriz são sempre segmentos internos ao triângulo? Sim, os segmentos da mediana e da bissetriz interna são sempre traçados dentro do triângulo. No entanto, o pé da bissetriz externa (o ponto onde ela encontra o lado oposto) pode estar no prolongamento do lado, ou seja, fora do segmento original do lado.
Onde se encontram as bissetrizes de um triângulo? As três bissetrizes internas de um triângulo encontram-se no incentro.
Onde se encontram as medianas de um triângulo? As três medianas de um triângulo encontram-se no baricentro.
Onde se encontram as alturas de um triângulo? As três alturas de um triângulo encontram-se no ortocentro.
Quando a altura, a mediana e a bissetriz coincidem?
Em triângulos isósceles, a altura, mediana e bissetriz relativas à base coincidem.
Em triângulos equiláteros, todas as três alturas, medianas e bissetrizes (de qualquer vértice) coincidem.
Para garantir que você aplique todo esse conhecimento com sucesso em suas provas, siga estas dicas essenciais:
Domine as Definições: A base de tudo é conhecer as definições de altura, mediana e bissetriz, e de seus respectivos pontos de encontro (ortocentro, baricentro, incentro). Não decore, compreenda o que cada um faz.
Memorize e Aplique os Teoremas da Bissetriz: O Teorema da Bissetriz Interna e o Teorema da Bissetriz Externa são ferramentas analíticas cruciais para resolver problemas de proporção e cálculo de segmentos. A agilidade na aplicação desses teoremas é um diferencial competitivo.
Compreenda as Propriedades dos Triângulos Especiais: As coincidências dos elementos em triângulos isósceles e equiláteros, bem como a localização dos pontos notáveis em triângulos retângulos, são informações que aparecem constantemente nas questões. Saiba identificá-las e utilizá-las a seu favor.
Interprete as Figuras com Habilidade: Muitas questões de geometria não descrevem explicitamente se um segmento é altura, mediana ou bissetriz; você terá que identificá-lo pela figura. Reconhecer uma bissetriz por ângulos iguais, uma mediana por pontos médios e uma altura por ângulos retos é uma habilidade fundamental.
Pratique com Exemplos Diversificados: A teoria só se solidifica com a prática. Resolva o máximo de problemas práticos, incluindo aqueles com aplicações diretas dos teoremas e que envolvam múltiplos conceitos. Os exemplos detalhados neste guia são um excelente ponto de partida.
Dominar os conceitos de altura, mediana e bissetriz de um triângulo, juntamente com seus pontos notáveis e teoremas associados, é mais do que aprender geometria; é desenvolver o raciocínio lógico e a capacidade de resolver problemas complexos. Este guia foi projetado para ser seu companheiro nessa jornada, oferecendo um conteúdo didático, completo e focado nas demandas dos exames. Com dedicação e prática, você estará plenamente preparado para gabaritar as questões de geometria e alcançar seus objetivos. Bons estudos!