A geometria é uma área fundamental da matemática, presente em nosso dia a dia, desde a arquitetura das construções até o design de objetos. Dentro dela, o estudo dos polígonos ocupa um lugar de destaque, e um dos conceitos mais importantes e frequentemente cobrados em exames é a relação entre o número de diagonais e o número de lados dessas figuras.
Antes de mergulharmos nas diagonais, é essencial solidificar a compreensão do que são polígonos e, mais importante, o que os torna "convexos".
Polígonos são figuras geométricas bidimensionais formadas por segmentos de reta que se unem em seus extremos, formando uma linha poligonal fechada sem autointerseções. Pense em um quadrado, um triângulo ou um pentágono: todos são exemplos de polígonos.
Os elementos de um polígono são:
Vértices: Os pontos onde os segmentos de reta (lados) se encontram.
Lados: Os segmentos de reta que formam o contorno do polígono.
Diagonais: O foco do nosso estudo, que definiremos em detalhes a seguir.
Para o cálculo das diagonais, a classificação mais importante é entre polígonos convexos e não convexos (também chamados de côncavos). Nossa fórmula principal se aplica especificamente aos polígonos convexos.
O que é um Polígono Convexo?
Intuitivamente, um polígono convexo é aquele cujos vértices "apontam para fora", ou seja, ele "não possui vértices reentrantes". Imagine uma borracha elástica esticada ao redor de seus vértices: se ela forma uma figura "arredondada" para fora, é convexo.
Para uma definição mais precisa e fundamental, um polígono é considerado convexo se satisfaz uma das seguintes condições (que são equivalentes):
Critério do Segmento de Reta Interno: Se você pegar quaisquer dois pontos dentro da área do polígono e traçar um segmento de reta entre eles, todos os pontos desse segmento estarão contidos inteiramente dentro da área do polígono. Se houver algum ponto do segmento que "saia" da área do polígono, então ele não é convexo.
Critério dos Ângulos Internos (Mais Usado em Provas!): Um polígono é convexo se todos os seus ângulos internos são menores que 180°.
E o Polígono Não Convexo (Côncavo)?
Um polígono é não convexo (ou côncavo) se pelo menos um de seus ângulos internos for maior que 180°. Consequentemente, ao traçar um segmento de reta entre dois pontos internos, pode haver partes desse segmento que ficam fora da área do polígono.
Observação Importante: Polígonos regulares (aqueles que possuem todos os lados e todos os ângulos internos com a mesma medida) são sempre convexos.
Agora que sabemos o que é um polígono convexo, podemos nos aprofundar nas diagonais.
Uma diagonal de um polígono é um segmento de reta que liga dois de seus vértices que não são consecutivos. Em outras palavras, para traçar uma diagonal, você conecta um vértice a outro que não seja seu "vizinho" imediato (adjacente). Se você conectar um vértice ao seu vizinho, estará formando um lado do polígono, e não uma diagonal.
É crucial saber que o triângulo é o único polígono que não possui diagonais. Por que? Porque um triângulo tem apenas três vértices, e cada vértice é sempre consecutivo aos outros dois. Assim, não é possível ligar dois vértices não consecutivos. Nossa fórmula, que veremos em breve, confirmará isso matematicamente.
De forma geral, o número de diagonais de um polígono aumenta conforme o número de lados (e vértices) aumenta. Vamos observar alguns exemplos para entender essa relação inicial:
Triângulo (3 lados): 0 diagonais.
Quadrado (4 lados): 2 diagonais.
Pentágono (5 lados): 5 diagonais.
Hexágono (6 lados): 9 diagonais.
Para construir a fórmula do número total de diagonais, primeiro precisamos entender quantas diagonais podem partir de um único vértice. Essa é uma informação fundamental e também pode ser cobrada diretamente em exames.
Imagine um vértice qualquer de um polígono com "n" lados. Desse vértice, você não pode traçar uma diagonal para:
Ele mesmo: Um segmento de reta precisa de dois pontos distintos.
Seus dois vértices adjacentes (vizinhos): Conectar a esses vértices formaria os lados do polígono, não diagonais.
Portanto, de cada vértice de um polígono, é possível traçar diagonais para todos os outros vértices, exceto ele mesmo e seus dois vizinhos. Isso significa que podemos traçar diagonais para "n - 3" vértices.
Assim, o número de diagonais que partem de um único vértice de um polígono de "n" lados (e "n" vértices) é dado por:
d_v = n - 3
Onde:
d_v = número de diagonais que partem de um único vértice
n = número de lados (ou vértices) do polígono
Exemplos Práticos:
Quadrado (n=4): d_v = 4 - 3 = 1 diagonal.
Pentágono (n=5): d_v = 5 - 3 = 2 diagonais.
Hexágono (n=6): d_v = 6 - 3 = 3 diagonais.
Decágono (n=10): d_v = 10 - 3 = 7 diagonais.
Octógono (n=8): d_v = 8 - 3 = 5 diagonais.
Compreendendo como as diagonais partem de um único vértice, estamos prontos para a fórmula que calcula o número total de diagonais em um polígono convexo.
Multiplicando pelo número de vértices: Se cada um dos "n" vértices tem (n - 3) diagonais, poderíamos pensar em multiplicar n * (n - 3).
A Contagem Dupla e a Correção: No entanto, ao fazer essa multiplicação, estamos contando cada diagonal duas vezes. Por exemplo, a diagonal que liga o vértice A ao vértice D (AD) é a mesma diagonal que liga o vértice D ao vértice A (DA). Nossa contagem inicial inclui tanto "AD" (ao contar a partir de A) quanto "DA" (ao contar a partir de D). Para corrigir essa contagem duplicada, precisamos dividir o resultado por 2.
Assim, a fórmula para calcular o número total de diagonais (D) de um polígono convexo com "n" lados é:
$$ \mathbf{D = \frac{n(n-3)}{2}} $$
Onde:
D = número total de diagonais do polígono
n = número de lados (ou vértices) do polígono
Essa fórmula é válida para todo polígono convexo.
Relembrando o Triângulo:
Para n=3 (triângulo), D = 3 (3 - 3) / 2 = 3 0 / 2 = 0. A fórmula confirma que o triângulo não tem diagonais.
Vamos aplicar a fórmula para calcular o número de diagonais dos polígonos mais comuns e outros frequentemente vistos em provas:
Quadrilátero (Ex: Quadrado, Retângulo - n=4): D = 4 (4 - 3) / 2 = 4 1 / 2 = 2 diagonais.
Pentágono (n=5): D = 5 (5 - 3) / 2 = 5 2 / 2 = 5 diagonais. Ponto de Atenção para Provas! O pentágono é o único polígono convexo cujo número de diagonais é igual ao número de seus lados. Isso o torna um caso especial e uma pegadinha comum!
Hexágono (n=6): D = 6 (6 - 3) / 2 = 6 3 / 2 = 18 / 2 = 9 diagonais.
Heptágono (n=7): D = 7 (7 - 3) / 2 = 7 4 / 2 = 28 / 2 = 14 diagonais.
Octógono (n=8): (Ex: Formato do ringue de MMA - octógono) D = 8 (8 - 3) / 2 = 8 5 / 2 = 40 / 2 = 20 diagonais.
Decágono (n=10): D = 10 (10 - 3) / 2 = 10 7 / 2 = 70 / 2 = 35 diagonais.
Dodecágono (n=12): D = 12 (12 - 3) / 2 = 12 9 / 2 = 108 / 2 = 54 diagonais.
Icoságono (n=20): (Comumente cobrado em vestibulares por seu número maior de lados) D = 20 (20 - 3) / 2 = 20 17 / 2 = 340 / 2 = 170 diagonais.
Polígono de 40 lados (n=40): D = 40 (40 - 3) / 2 = 40 37 / 2 = 1480 / 2 = 740 diagonais.
Muitas questões de provas não pedem apenas o cálculo direto das diagonais. Elas exigem a aplicação inversa da fórmula ou a combinação com outros conceitos de polígonos. Vamos explorar os tipos mais frequentes:
Este é um tipo de questão muito comum, que exige que você saiba resolver uma equação do segundo grau.
Exemplo: Qual é o polígono que possui 77 diagonais?
Use a fórmula das diagonais: D = n (n - 3) / 2 77 = n (n - 3) / 2
Multiplique ambos os lados por 2: 77 2 = n (n - 3) 154 = n² - 3n
Organize a equação para o formato padrão (ax² + bx + c = 0): n² - 3n - 154 = 0
Resolva usando a Fórmula de Bhaskara (n = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a): Aqui, a = 1, b = -3, c = -154. Cálculo do Delta (Δ): Δ = b² - 4ac Δ = (-3)² - 4 1 (-154) Δ = 9 + 616 Δ = 625
Cálculo de n: n = [-(-3) ± √625] / (2 * 1) n = [3 ± 25] / 2
Teremos duas possíveis soluções:
n₁ = (3 + 25) / 2 = 28 / 2 = 14
n₂ = (3 - 25) / 2 = -22 / 2 = -11
Analise as soluções: O número de lados de um polígono não pode ser negativo. Portanto, descartamos n₂ = -11.
Conclusão: O polígono que possui 77 diagonais tem 14 lados, e é conhecido como tetradecágono.
Outro tipo comum de questão é quando o número de diagonais é um múltiplo do número de lados (D = k * n).
Exemplo 1: Determine o polígono convexo cujo número de diagonais é o dobro do número de lados (D = 2n).
Substitua na fórmula: n * (n - 3) / 2 = 2n
Resolva para n: n * (n - 3) = 4n Como n não pode ser zero (um polígono deve ter lados), podemos dividir ambos os lados por n (assumindo n ≠ 0): n - 3 = 4 n = 4 + 3 n = 7
Conclusão: O polígono é um heptágono.
Exemplo 2: Existe um polígono convexo cujo número de diagonais é o triplo do número de lados (D = 3n)?
Substitua na fórmula: n * (n - 3) / 2 = 3n
Resolva para n: n * (n - 3) = 6n Divida ambos os lados por n (assumindo n ≠ 0): n - 3 = 6 n = 6 + 3 n = 9
Conclusão: Sim, existe. É o eneágono, que possui 9 lados e 27 diagonais (9 (9-3)/2 = 9 6 / 2 = 27).
Em provas mais elaboradas, a questão pode envolver a fórmula das diagonais com a soma dos ângulos internos (Si) ou o ângulo externo (Ae) de um polígono.
Fórmulas Essenciais para Ângulos:
Soma dos Ângulos Internos (Si): Si = (n - 2) * 180°
Ângulo Externo (Ae) de um Polígono Regular: Ae = 360° / n
Ângulo Interno (Ai) de um Polígono Regular: Ai = (n - 2) * 180° / n OU Ai = 180° - Ae
Exemplo 1: Qual o número de diagonais de um polígono convexo que tem soma dos ângulos internos igual a 1800°?
Encontre o número de lados (n) usando a fórmula da soma dos ângulos internos: Si = (n - 2) 180° 1800 = (n - 2) 180 Divida por 180: 10 = n - 2 n = 10 + 2 n = 12
Calcule o número de diagonais (D) para n=12: D = n (n - 3) / 2 D = 12 (12 - 3) / 2 D = 12 * 9 / 2 D = 108 / 2 = 54 diagonais. O polígono é um dodecágono.
Exemplo 2: Quantas diagonais tem um polígono regular cuja medida do ângulo interno é o quádruplo da medida do ângulo externo?
Defina a relação entre ângulos internos e externos: Ai = 4 * Ae
Substitua pelas fórmulas de ângulos: (n - 2) 180° / n = 4 (360° / n)
Resolva para n: Multiplique ambos os lados por n (assumindo n ≠ 0): (n - 2) 180 = 4 360 (n - 2) * 180 = 1440 Divida por 180: n - 2 = 1440 / 180 n - 2 = 8 n = 8 + 2 n = 10
Calcule o número de diagonais (D) para n=10: D = n (n - 3) / 2 D = 10 (10 - 3) / 2 D = 10 * 7 / 2 D = 70 / 2 = 35 diagonais. O polígono é um decágono.
Essa é uma questão de nível mais alto, que testa um detalhe específico de polígonos regulares com um número par de lados.
Em um polígono regular com um número par de lados, algumas diagonais passam exatamente pelo centro da circunferência que o circunscreve. Essas diagonais são como "diâmetros" do polígono, conectando vértices opostos.
Para um polígono regular com "n" lados (onde n é par), o número de diagonais que passam pelo centro é n / 2.
Exemplo: Quantas são as diagonais de um polígono regular de 16 lados que não passam pelo centro da circunferência circunscrita?
Calcule o número total de diagonais (D) para n=16: D = n (n - 3) / 2 D = 16 (16 - 3) / 2 D = 16 * 13 / 2 D = 208 / 2 = 104 diagonais.
Calcule o número de diagonais que passam pelo centro: Como n=16 (número par), o número de diagonais que passam pelo centro é n / 2. Diagonais pelo centro = 16 / 2 = 8 diagonais.
Calcule o número de diagonais que NÃO passam pelo centro: Diagonais que não passam pelo centro = Total de Diagonais - Diagonais pelo centro Diagonais que não passam pelo centro = 104 - 8 = 96 diagonais.
Esses problemas exigem montar um sistema de equações ou uma equação mais complexa, geralmente envolvendo dois polígonos.
Exemplo: A diferença entre o número de diagonais de dois polígonos convexos é 85, e o número de lados de um é o triplo do número de lados do outro. Quais são estes polígonos?
Defina os números de lados: Seja "n" o número de lados do primeiro polígono. O segundo polígono terá "3n" lados.
Escreva as fórmulas das diagonais para cada um: D₁ = n (n - 3) / 2 D₂ = 3n (3n - 3) / 2
Monte a equação da diferença: D₂ - D₁ = 85 [3n (3n - 3) / 2] - [n (n - 3) / 2] = 85
Resolva para n: Multiplique por 2 para eliminar os denominadores: 3n (3n - 3) - n (n - 3) = 170 9n² - 9n - (n² - 3n) = 170 9n² - 9n - n² + 3n = 170 8n² - 6n = 170 Divida por 2: 4n² - 3n = 85 4n² - 3n - 85 = 0
Resolva a equação do segundo grau por Bhaskara: a = 4, b = -3, c = -85. Δ = (-3)² - 4 4 (-85) Δ = 9 + 1360 Δ = 1369
n = [3 ± √1369] / (2 * 4) n = [3 ± 37] / 8
n₁ = (3 + 37) / 8 = 40 / 8 = 5
n₂ = (3 - 37) / 8 = -34 / 8 (descartado por ser negativo)
Conclusão: O primeiro polígono tem 5 lados (pentágono) e o segundo tem 3 5 = 15 lados (pentadecágono). Verificação: D(pentágono) = 5. D(pentadecágono) = 15(15-3)/2 = 15*12/2 = 90. Diferença = 90 - 5 = 85. Confere!
Esses problemas elevam o nível de complexidade, misturando geometria com princípios de contagem.
Exemplo 1: Formação de Triângulos pelos Vértices de um Polígono Se unirmos três a três os vértices de um polígono regular e obtivermos 220 triângulos, quantas diagonais possui esse polígono?
Entenda a Combinação: Escolher 3 vértices de "n" vértices para formar um triângulo é um problema de combinação (ordem não importa). A fórmula é C(n, k) = n! / (k! (n-k)!), onde k=3. Então, o número de triângulos é C(n, 3) = n (n-1) (n-2) / (3 2 1) = n (n-1) * (n-2) / 6.
Monte a equação: n (n-1) (n-2) / 6 = 220 n (n-1) (n-2) = 220 6 n (n-1) * (n-2) = 1320
Resolva para n (por tentativa ou fatoração): Estamos procurando três números consecutivos cujo produto seja 1320. 10 11 12 = 1320. Portanto, n = 12.
Calcule o número de diagonais para n=12: D = n (n - 3) / 2 D = 12 (12 - 3) / 2 D = 12 * 9 / 2 D = 108 / 2 = 54 diagonais.
Exemplo 2: Diagonais que Não Contêm Vértices Específicos Seja um octógono convexo ABCDEFGH. Quantas são as diagonais que não contêm os vértices A nem D?
Total de Diagonais do Octógono (n=8): D = 8 (8 - 3) / 2 = 8 5 / 2 = 20 diagonais.
Diagonais que partem do vértice A: n - 3 = 8 - 3 = 5 diagonais.
Diagonais que partem do vértice D: n - 3 = 8 - 3 = 5 diagonais.
Atenção à Diagonal Compartilhada: A diagonal AD (que liga A a D) é contada tanto nas diagonais que partem de A quanto nas que partem de D. Ela é a única diagonal que contém AMBOS os vértices A e D.
Cálculo da Diagonais que contêm A ou D: Para saber quantas diagonais contêm pelo menos A ou D, podemos usar o princípio da inclusão-exclusão: (Diagonais de A) + (Diagonais de D) - (Diagonais que contêm A E D) 5 + 5 - 1 (a diagonal AD) = 9 diagonais que contêm A ou D.
Diagonais que NÃO contêm A nem D: Total de Diagonais - (Diagonais que contêm A ou D) 20 - 9 = 11 diagonais.
Outra forma de pensar (mais simples para alguns): Total de diagonais (20) - as 5 que partem de A - as 5 que partem de D + a 1 que foi subtraída duas vezes (AD) = 20 - 5 - 5 + 1 = 11.
Exemplo: Em uma região existem 10 cidades, todas sobre uma circunferência imaginária. Deseja-se construir estradas em linha reta ligando todas essas cidades entre si. Quantas serão as estradas?
Entenda o que são as "estradas": Ligar "todas as cidades entre si" significa ligar cada cidade a todas as outras. Isso inclui os "lados" (estradas entre cidades vizinhas) e as "diagonais" (estradas entre cidades não vizinhas).
Identifique o polígono: As 10 cidades sobre uma circunferência formam um decágono convexo (n=10).
Calcule o número de diagonais do decágono: D = 10 (10 - 3) / 2 = 10 7 / 2 = 35 diagonais.
Calcule o número de lados do decágono: O número de lados é igual ao número de vértices, ou seja, 10 lados.
Total de estradas = Diagonais + Lados: Total = 35 + 10 = 45 estradas.
A geometria é uma das ciências mais antigas, com raízes em civilizações como a egípcia e a babilônica, há cerca de 3000 a.C.. No entanto, foi com os gregos antigos que a geometria alcançou um rigor matemático sem precedentes, especialmente com Euclides, conhecido como o "Pai da Geometria". Seus "Elementos", um tratado de 13 livros, estabeleceram os axiomas e postulados (como o famoso Postulado das Paralelas) que formaram a base da geometria euclidiana por séculos. O cálculo das diagonais e a compreensão das propriedades dos polígonos são parte integrante desse legado geométrico clássico.
O estudo das diagonais vai além do simples cálculo de seu número. Na Geometria Computacional, por exemplo, a capacidade de triangular um polígono (dividi-lo em triângulos utilizando suas diagonais) é fundamental para muitos algoritmos. Um polígono com "n" vértices pode ser particionado em n - 2 triângulos através da inclusão de n - 3 diagonais que não se cruzam. Isso é usado em campos como gráficos de computador, reconhecimento de padrões e até mesmo no "Teorema da Galeria de Arte", que determina o número mínimo de "guardas" para cobrir todos os pontos de um polígono.
No contexto da triangulação, um conceito interessante é o de "orelha" de um polígono. Três vértices consecutivos (u, v, w) formam uma orelha se o segmento uw é uma diagonal interna do polígono. O Teorema das Duas Orelhas de Meister afirma que todo polígono com pelo menos 4 vértices possui no mínimo duas orelhas. Embora não seja diretamente para o cálculo de diagonais, mostra a riqueza da geometria dos polígonos!
Essa é uma das dúvidas mais frequentes! Lembre-se: quando você multiplica o número de lados (n) pelo número de diagonais que partem de cada vértice (n-3), você está, na verdade, contando cada diagonal duas vezes. Pense na diagonal AB; ela é contada quando você analisa o vértice A e também é contada quando você analisa o vértice B. Para ter o número total de diagonais únicas, precisamos dividir por 2 para corrigir essa duplicidade.
A fórmula D = n(n-3)/2 é válida apenas para polígonos convexos. Para polígonos não convexos (côncavos), embora o conceito de "diagonal" continue sendo "segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos", a interpretação e a aplicabilidade da fórmula podem ser diferentes, especialmente porque algumas "diagonais" de um polígono côncavo podem passar por fora de sua área, o que não ocorre em um polígono convexo.
Evite apenas decorar a fórmula. Compreender a lógica por trás de (n-3) (o próprio vértice e os dois vizinhos) e da divisão por 2 (a contagem dupla) fará com que você não a esqueça e consiga aplicá-la com confiança, mesmo sob pressão de uma prova.
A melhor maneira de dominar o cálculo de diagonais é praticar! Tente resolver os exemplos e exercícios apresentados neste guia, e busque mais questões. Quanto mais você aplica a fórmula e suas variações, mais natural o processo se torna.
Esperamos que este guia completo tenha desvendado todos os aspectos do cálculo do número de diagonais de um polígono convexo. Desde a definição fundamental de polígonos e a distinção crucial entre convexos e não convexos, passando pela dedução lógica da fórmula D = n(n-3)/2, até a resolução de cenários complexos e comuns em provas e concursos públicos, cobrimos o essencial e muito mais.
Lembre-se: o conhecimento das diagonais não é apenas uma fórmula, mas uma porta de entrada para a compreensão mais profunda da geometria plana e suas aplicações. Continue explorando, praticando e desafiando-se. Com dedicação, você estará pronto para qualquer questão que envolva os polígonos e suas fascinantes diagonais.
Bons estudos!