A Regra de Três é um processo matemático fundamental, amplamente utilizado para resolver uma vasta gama de problemas que envolvem grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. Com essa poderosa ferramenta, é possível determinar um valor desconhecido a partir de outros três valores já conhecidos – daí a origem de seu nome.
Este método não é apenas uma curiosidade matemática; ele tem uma aplicação prática vasta no dia a dia, na física, na química e em diversas outras áreas do conhecimento. É a habilidade de identificar e trabalhar com grandezas proporcionais que torna a Regra de Três tão valiosa.
A utilização de processos equivalentes à Regra de Três remonta a civilizações antigas, com indícios de sua aplicação em atividades práticas na China antiga. Documentos egípcios, como o Papiro de Ahmes (ou Rhind), datado de aproximadamente 1650 a.C., já continham problemas cujas resoluções se assemelham à Regra de Três moderna.
O nome "Regra de Três" surgiu explicitamente na Índia. No livro Aryabhatiya, de 499 d.C., do matemático indiano Aryabhata (476 – 550), além da Regra de Três, outras variações como as regras de cinco e de sete também foram apresentadas. Matemáticos árabes, como al-Kwarizimi (680 – 750), a empregavam para solucionar problemas de transações comerciais, enfatizando a proporcionalidade entre quatro números, como medida e preço, ou quantidade e soma. Mesmo assim, al-Karaji (953 – 1029), outro matemático árabe, referia-se a ela apenas como "multiplicação e divisão".
A Regra de Três chegou à Europa por meio do livro Liber Abaci de Leonardo Fibonacci (1170 – 1250). Sua relação com a álgebra foi primeiramente destacada pelo algebrista alemão Michael Stifel (1487-1567). Ao longo de sua trajetória, a Regra de Três recebeu diversos nomes.
Para dominar a Regra de Três, é essencial entender o conceito de grandezas e as formas como elas podem se relacionar, seja de maneira direta ou inversa.
Em matemática, uma grandeza é tudo aquilo que pode ser medido ou contado. Isso inclui, por exemplo, tempo, massa, velocidade, quantidade de produtos, preço, comprimento e número de pessoas.
Duas grandezas são consideradas diretamente proporcionais quando, ao aumentar uma delas, a outra também aumenta na mesma proporção, ou quando, ao diminuir uma delas, a outra também diminui na mesma proporção. Em outras palavras, a razão entre os valores correspondentes de duas grandezas diretamente proporcionais é sempre constante.
Exemplos Comuns de Grandezas Diretamente Proporcionais:
Preço e Quantidade de um Produto: Quanto mais você compra, maior o preço a pagar.
Distância Percorrida e Consumo de Combustível: Quanto maior a distância, maior o consumo de combustível (assumindo velocidade constante).
Número de Peças Produzidas e Tempo de Produção: Quanto mais tempo, mais peças uma máquina produz (mantendo a eficiência).
Quantidade de Funcionários e Trabalho Realizado: Mais funcionários podem plantar mais metros quadrados ou corrigir mais redações.
Como Identificar Grandezas DP: Imagine a situação: se um valor de uma grandeza duplica, o valor correspondente da outra grandeza também duplica? Se a resposta for sim, elas são diretamente proporcionais. Na representação com setas, ambas as setas apontam para a mesma direção (ambas para cima ou ambas para baixo).
Duas grandezas são consideradas inversamente proporcionais quando, ao aumentar uma delas, a outra diminui na mesma proporção, ou vice-versa. Para grandezas inversamente proporcionais, o produto de seus valores correspondentes é sempre constante.
Exemplos Comuns de Grandezas Inversamente Proporcionais:
Velocidade e Tempo de Viagem: Para percorrer a mesma distância, quanto maior a velocidade, menor o tempo gasto.
Número de Trabalhadores e Tempo para Concluir uma Tarefa: Quanto mais trabalhadores, menos tempo leva para terminar o trabalho.
Quantidade de Ralos e Tempo para Esvaziar uma Piscina: Mais ralos esvaziam a piscina em menos tempo.
Número de Impressoras e Tempo de Impressão: Mais impressoras diminuem o tempo necessário para imprimir uma mesma quantidade de material.
Como Identificar Grandezas IP: Pense na situação: se um valor de uma grandeza duplica, o valor correspondente da outra grandeza se divide pela metade? Se a resposta for sim, elas são inversamente proporcionais. Na representação com setas, as setas apontam em sentidos contrários (uma para cima e outra para baixo).
Uma técnica muito útil para visualizar e organizar a análise da proporcionalidade é o uso de setas.
Se você identificar que ambas as grandezas aumentam ou diminuem juntas, as setas ficam orientadas no mesmo sentido (ambas "para cima" ou ambas "para baixo"). Isso indica proporcionalidade direta.
Se você identificar que uma grandeza aumenta enquanto a outra diminui, as setas ficam com sentidos contrários (uma "para cima" e outra "para baixo"). Isso indica proporcionalidade inversa.
A direção das setas na tabela ajuda a montar a equação corretamente.
A Regra de Três Simples é um processo prático focado na resolução de problemas de proporcionalidade que envolvem duas grandezas, cada uma delas apresentando dois valores. Destes quatro valores, três são conhecidos no problema, e o quarto é o valor desconhecido que você precisa determinar.
Para resolver problemas utilizando a Regra de Três Simples, siga estes passos sistemáticos:
1º Passo: Ler Atentamente o Problema e Identificar Grandezas e Valores
Leia o problema com calma para compreender a situação.
Identifique as duas grandezas envolvidas que serão trabalhadas (ex: tempo e peças, velocidade e tempo).
Observe os três valores conhecidos e identifique o valor desconhecido que deve ser calculado. Represente o valor desconhecido por uma letra, como 'x'.
2º Passo: Construir a Tabela de Dados
Organize os dados em uma tabela com duas colunas, uma para cada grandeza.
Agrupe os valores da mesma grandeza na mesma coluna.
Mantenha, na mesma linha, os valores de grandezas diferentes que estão em correspondência.
Exemplo: Se 5 horas correspondem a 120 peças, 5 e 120 ficam na mesma linha.
3º Passo: Analisar a Proporcionalidade (Direta ou Inversa)
Este é um passo crucial.
Identifique se as duas grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. Para isso, observe se, quando os valores de uma grandeza aumentam, os respectivos valores da outra grandeza aumentam ou diminuem proporcionalmente.
Use as setas para auxiliar na visualização:
Mesmo sentido (ambas para cima ou ambas para baixo): grandezas diretamente proporcionais (DP).
Sentidos contrários (uma para cima e outra para baixo): grandezas inversamente proporcionais (IP).
4º Passo: Montar e Resolver a Equação
Montar a equação de acordo com o tipo de proporcionalidade identificado.
Para Grandezas Diretamente Proporcionais (DP): Mantenha as frações como estão na tabela e multiplique cruzado (a propriedade fundamental das proporções).
Exemplo: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2}$
Para Grandezas Inversamente Proporcionais (IP): Inverta uma das frações (troque numerador com denominador) e, em seguida, multiplique cruzado.
Exemplo: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_2}{B_1}$
Resolva a equação para encontrar o valor desconhecido 'x'.
Vamos praticar com exemplos didáticos, organizados do mais fácil ao que exige um pouco mais de atenção.
(Baseado em) Em 5 horas, uma máquina produz 120 peças. Quantas peças ela produzirá em 8 horas?
Solução: 1º Passo:
Grandezas: Tempo (horas) e Quantidade de Peças.
Valores Conhecidos: 5 horas, 120 peças, 8 horas.
Valor Desconhecido: Quantidade de peças produzidas em 8 horas (vamos chamar de 'x').
2º Passo: Tabela de Dados
Tempo (horas)Peças | |
5 | 120 |
8 | x |
3º Passo: Análise da Proporcionalidade
Se o tempo de trabalho aumenta (de 5 para 8 horas), a quantidade de peças produzidas também aumentará.
Portanto, as grandezas são diretamente proporcionais. (Seta para cima em ambas as colunas).
4º Passo: Montar e Resolver a Equação
Montamos a proporção, mantendo as frações como estão e multiplicando cruzado: $\qquad \dfrac{5}{8} = \dfrac{120}{x}$
Multiplicando em cruz: $5 \times x = 8 \times 120$ $5x = 960$ $x = \dfrac{960}{5}$ $\boxed{x = 192}$
Resposta: Em 8 horas, a máquina produzirá 192 peças.
(Baseado em) Para revitalizar um parque, 3 pessoas plantavam 5 m² por dia. Mais 4 pessoas se juntaram à causa (totalizando 7 pessoas), com o mesmo desempenho. Qual será a quantidade de m² reflorestada por dia?
Solução: 1º Passo:
Grandezas: Pessoas e Área Reflorestada (m²).
Valores Conhecidos: 3 pessoas, 5 m², 7 pessoas (3 + 4).
Valor Desconhecido: Área reflorestada por 7 pessoas (vamos chamar de 'x').
2º Passo: Tabela de Dados
PessoasÁrea (m²) | |
3 | 5 |
7 | x |
3º Passo:
Se o número de pessoas aumenta (de 3 para 7), a quantidade de m² reflorestada por dia também aumentará.
As grandezas são diretamente proporcionais.
4º Passo:
Montamos a proporção e multiplicamos cruzado: $\qquad \dfrac{3}{7} = \dfrac{5}{x}$ $3x = 7 \times 5$ $3x = 35$ $x = \dfrac{35}{3}$ $\boxed{x \approx 11,67}$
Resposta: As 7 pessoas reflorestarão aproximadamente 11,67 m² por dia.
(Baseado em) Laura pagou R$ 11,20 por 350g de presunto. No mesmo estabelecimento, Regina comprou 600g do mesmo presunto. Qual foi o valor pago por Regina?
Solução: 1º Passo:
Grandezas: Preço (R$) e Peso (gramas).
Valores Conhecidos: R$ 11,20, 350g, 600g.
Valor Desconhecido: Preço para 600g (vamos chamar de 'x').
2º Passo: Tabela de Dados
Preço (R$)Gramas | |
11,20 | 350 |
x | 600 |
3º Passo:
Se o peso do presunto aumenta (de 350g para 600g), o preço a pagar também aumentará.
As grandezas são diretamente proporcionais.
4º Passo:
Montamos a proporção e multiplicamos cruzado: $\qquad \dfrac{11,20}{x} = \dfrac{350}{600}$
Podemos simplificar a fração $\frac{350}{600}$ dividindo ambos por 50: $\frac{7}{12}$. $\qquad \dfrac{11,20}{x} = \dfrac{7}{12}$ $7x = 11,20 \times 12$ $7x = 134,40$ $x = \dfrac{134,40}{7}$ $\boxed{x = 19,20}$
Resposta: Regina pagou R$ 19,20 pelo presunto.
(Baseado em) Com velocidade média de 80 km/h, fiz uma viagem em 6 horas. Se a velocidade fosse de 60 km/h, em quanto tempo eu faria essa viagem?
Solução: 1º Passo:
Grandezas: Velocidade (km/h) e Tempo (horas).
Valores Conhecidos: 80 km/h, 6 horas, 60 km/h.
Valor Desconhecido: Tempo da viagem a 60 km/h (vamos chamar de 'x').
2º Passo: Tabela de Dados
Velocidade (km/h)Tempo (horas) | |
80 | 6 |
60 | x |
3º Passo:
Se a velocidade diminui (de 80 para 60 km/h), o tempo gasto para percorrer a mesma distância aumentará.
Portanto, as grandezas são inversamente proporcionais. (Seta para baixo na velocidade, seta para cima no tempo).
4º Passo:
Montamos a proporção, invertendo uma das frações (por exemplo, a da velocidade) e multiplicamos cruzado: $\qquad \dfrac{80}{60} = \dfrac{x}{6}$
Multiplicando em cruz: $60 \times x = 80 \times 6$ $60x = 480$ $x = \dfrac{480}{60}$ $\boxed{x = 8}$
Resposta: A viagem seria feita em 8 horas.
(Baseado em) 6 funcionários de uma empresa realizam uma determinada tarefa em 4 horas de trabalho. 10 funcionários, com a mesma capacidade, realizariam essa mesma tarefa em:
Solução: 1º Passo:
Grandezas: Funcionários e Horas de Trabalho.
Valores Conhecidos: 6 funcionários, 4 horas, 10 funcionários.
Valor Desconhecido: Tempo para 10 funcionários (vamos chamar de 'x').
2º Passo: Tabela de Dados
FuncionáriosHoras de Trabalho | |
6 | 4 |
10 | x |
3º Passo:
Se a quantidade de funcionários aumenta (de 6 para 10), o tempo necessário para realizar a tarefa diminui.
As grandezas são inversamente proporcionais. (Seta para cima em funcionários, seta para baixo em horas).
4º Passo:
Montamos a proporção, invertendo uma das frações (por exemplo, a dos funcionários) e multiplicamos cruzado: $\qquad \dfrac{6}{10} = \dfrac{x}{4}$ $10x = 6 \times 4$ $10x = 24$ $x = \dfrac{24}{10}$ $\boxed{x = 2,4 \text{ horas}}$
Atenção à Conversão de Unidades!
2,4 horas não são 2 horas e 40 minutos. O 0,4 da hora precisa ser convertido para minutos: $0,4 \text{ horas} \times 60 \text{ minutos/hora} = 24 \text{ minutos}$
Resposta: A tarefa seria realizada em 2 horas e 24 minutos.
(Baseado em) É crucial que você sempre analise se o modelo matemático de proporcionalidade de fato se aplica à situação modelada na vida real. A matemática nos permite calcular que, se 1 pedreiro constrói um muro em 3 dias, 3 pedreiros o fariam em 1 dia, e 6 pedreiros em meio dia. Teoricamente, isso faz sentido, pois estamos lidando com grandezas inversamente proporcionais: mais pedreiros, menos tempo.
Contudo, na prática, existe um limite! Não podemos simplesmente continuar aumentando o número de pedreiros indefinidamente para que o muro fique pronto em segundos. Isso porque, em algum momento, não haveria espaço suficiente para todos trabalharem de forma eficiente, e a produtividade real cairia drasticamente ou até se tornaria inviável.
Outro exemplo: 5 funcionários montam cadernos em 8 horas em uma sala de 3x4 metros. Matematicamente, 10 funcionários fariam o mesmo serviço em 4 horas. No entanto, é "praticamente impossível que 10 pessoas mantenham a organização e a eficácia para fazer o serviço em uma sala tão minúscula".
Moral da história: A proporcionalidade matemática é uma ferramenta poderosa, mas ela reflete um modelo ideal. No mundo real, fatores externos e limitações práticas podem alterar ou invalidar a proporcionalidade esperada. Lembre-se sempre de não aplicar proporcionalidade em problemas cujas grandezas não se relacionam de fato em todas as circunstâncias.
Enquanto a Regra de Três Simples se restringe a problemas com apenas duas grandezas, a Regra de Três Composta nos permite resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas. Se um problema tiver 'n' grandezas proporcionais, você lidará com '2n' valores, sendo '2n-1' conhecidos e um desconhecido a ser determinado.
A Regra de Três Composta é, essencialmente, uma extensão da Regra de Três Simples, e o domínio da simples é fundamental para compreendê-la.
O processo é uma evolução dos passos da Regra de Três Simples:
1º Passo: Ler Atentamente o Problema e Identificar Grandezas e Valores
Leia o problema com muita atenção.
Identifique todas as grandezas envolvidas (ex: funcionários, camisetas, jornada de trabalho) e observe os valores conhecidos e o valor desconhecido.
2º Passo: Construir a Tabela com Todas as Grandezas
Monte uma tabela onde a quantidade de colunas seja igual à quantidade de grandezas.
Agrupe os valores da mesma grandeza na mesma coluna e mantenha, na mesma linha, os valores de grandezas diferentes que estão em correspondência.
3º Passo: Analisar a Proporcionalidade da Incógnita com CADA UMA das Outras Grandezas
Este é o passo mais crítico na Regra de Três Composta.
Escolha a coluna da grandeza com o valor desconhecido (incógnita) e fixe um sentido para sua seta (ex: para baixo, indicando aumento de 'x').
Analise cada uma das outras grandezas individualmente em relação à grandeza da incógnita, supondo que as demais grandezas (que não a da análise) permaneçam constantes:
Compare: Se essa grandeza (que está sendo analisada) aumenta, a grandeza da incógnita aumenta ou diminui?
Defina o sentido da seta para cada uma dessas grandezas, indicando se é diretamente (mesmo sentido da seta da incógnita) ou inversamente (sentido contrário) proporcional.
4º Passo: Montar a Equação e Resolver
Monte a equação de proporcionalidade com base nas análises do passo anterior.
Regra importante para a montagem da equação:
Em um dos membros da equação, deve ficar apenas a razão dos valores da grandeza na qual está a incógnita.
No outro membro da equação, todas as razões obtidas em cada uma das outras grandezas devem aparecer multiplicadas.
Lembre-se de inverter as frações correspondentes às grandezas inversamente proporcionais em relação à incógnita.
Resolva a equação para encontrar o valor de 'x'.
Vamos aplicar os passos em problemas mais elaborados.
(Baseado em) Uma confecção possuía 36 funcionários, alcançando uma produtividade de 5400 camisetas por dia, com uma jornada de trabalho diária de 6 horas. Com o aumento da demanda para 21600 camisetas, a empresa aumentou o quadro de funcionários para 96. Qual deve ser a nova jornada de trabalho diária dos funcionários para que a empresa consiga atender a demanda?
Solução: 1º Passo:
Grandezas: Quantidade de Funcionários, Quantidade de Camisetas Produzidas Diariamente, Jornada de Trabalho Diária (horas).
Valores Conhecidos: 36 funcionários, 5400 camisetas, 6 horas (situação inicial); 96 funcionários, 21600 camisetas (situação final).
Valor Desconhecido: Nova jornada de trabalho (vamos chamar de 'x').
2º Passo: Tabela de Dados
FuncionáriosCamisetasJornada (horas) | ||
36 | 5400 | 6 |
96 | 21600 | x |
3º Passo: Análise da Proporcionalidade (em relação à Jornada de Trabalho 'x')
Coloque uma seta na coluna da Jornada (ex: para baixo, indicando aumento do trabalho).
Funcionários vs. Jornada (supondo camisetas constantes): Se a quantidade de camisetas fosse a mesma, para diminuir a jornada de trabalho, a quantidade de funcionários deveria aumentar. Ou seja, menos jornada -> mais funcionários. São inversamente proporcionais. (Seta para cima em funcionários).
Camisetas vs. Jornada (supondo funcionários constantes): Se a quantidade de funcionários fosse constante, para diminuir a jornada de trabalho, a quantidade de camisetas produzidas também deveria diminuir. Ou seja, menos jornada -> menos camisetas. São diretamente proporcionais. (Seta para baixo em camisetas).
Tabela com Setas (Visualização):
FuncionáriosCamisetasJornada (horas) | ||
36 (↑) | 5400 (↓) | 6 (↓) |
96 | 21600 | x |
4º Passo: Montar e Resolver a Equação
A razão da incógnita fica sozinha de um lado: $\dfrac{6}{x}$.
As outras razões são multiplicadas do outro lado. Invertemos a razão de "Funcionários" porque é inversamente proporcional, e mantemos a de "Camisetas" porque é diretamente proporcional: $\qquad \dfrac{6}{x} = \dfrac{96}{36} \times \dfrac{5400}{21600}$
Simplificando as frações (por exemplo, $\frac{96}{36}$ por 12 dá $\frac{8}{3}$; $\frac{5400}{21600}$ cortando zeros e dividindo 54 por 216, que é $1/4$ ): $\qquad \dfrac{6}{x} = \dfrac{8}{3} \times \dfrac{1}{4}$ $\qquad \dfrac{6}{x} = \dfrac{8}{12}$ $\qquad \dfrac{6}{x} = \dfrac{2}{3}$ (simplificando por 4)
Multiplicando cruzado: $2x = 6 \times 3$ $2x = 18$ $\boxed{x = 9}$
Resposta: A nova jornada de trabalho diária deve ser aumentada para 9 horas.
(Baseado em) Em uma campanha municipal, o coordenador utilizou 20 agentes de mesma eficiência para visitar 3.000 residências em 10 dias, trabalhando 8 horas por dia. O coordenador decidiu fazer uma nova campanha visitando 4.500 novas residências, mas só utilizará 16 desses agentes trabalhando 10 horas por dia. O tempo, em dias, que durará a nova campanha será:
Solução: 1º Passo:
Grandezas: Agentes, Residências, Dias, Horas por dia.
Valores Conhecidos: 20 agentes, 3000 residências, 10 dias, 8 horas/dia (situação 1); 16 agentes, 4500 residências, 10 horas/dia (situação 2).
Valor Desconhecido: Dias da nova campanha (vamos chamar de 'x').
2º Passo: Tabela de Dados
AgentesResidênciasDiasHoras por dia | |||
20 | 3000 | 10 | 8 |
16 | 4500 | x | 10 |
Simplificação dos Dados (Opcional, mas útil para reduzir números):
Agentes: 20/16 (pode simplificar por 4 para 5/4)
Residências: 3000/4500 (pode simplificar por 1500 para 2/3)
Horas por dia: 8/10 (pode simplificar por 2 para 4/5)
Nova Tabela Simplificada:
AgentesResidênciasDiasHoras por dia | |||
5 | 2 | 10 | 4 |
4 | 3 | x | 5 |
3º Passo: Análise da Proporcionalidade (em relação aos Dias 'x')
Coloque uma seta para baixo na coluna dos Dias (ex: indicando aumento).
Agentes vs. Dias: Se o número de agentes diminui (de 5 para 4), eles levarão mais dias para visitar as residências. São inversamente proporcionais. (Seta para cima em Agentes).
Residências vs. Dias: Se o número de residências aumenta (de 2 para 3), precisaremos de mais dias para visitar todas. São diretamente proporcionais. (Seta para baixo em Residências).
Horas por dia vs. Dias: Se a jornada diária de trabalho aumenta (de 4 para 5), precisamos de menos dias para executar a tarefa. São inversamente proporcionais. (Seta para cima em Horas por dia).
Tabela com Setas (Visualização):
AgentesResidênciasDias (↓)Horas por dia | |||
5 (↑) | 2 (↓) | 10 | 4 (↑) |
4 | 3 | x | 5 |
4º Passo: Montar e Resolver a Equação
Razão da incógnita: $\dfrac{10}{x}$.
Outras razões multiplicadas (invertendo as inversas): $\qquad \dfrac{10}{x} = \dfrac{4}{5} \times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{4}$
Simplificando (cortar 4 com 4, e 5 com 5): $\qquad \dfrac{10}{x} = \dfrac{2}{3}$
Multiplicando cruzado: $2x = 10 \times 3$ $2x = 30$ $\boxed{x = 15}$
Resposta: A nova campanha durará 15 dias.
Esta seção aborda dúvidas comuns, cenários complexos frequentemente vistos em concursos e dicas para otimizar seus cálculos.
Em concursos, a Regra de Três é um tema recorrente, aparecendo tanto em sua forma simples quanto composta. Os problemas costumam exigir não apenas o cálculo, mas também a correta interpretação das grandezas e de suas relações (diretas ou inversas). Questões mais desafiadoras frequentemente envolvem:
Cenários com "trabalho restante": A tarefa não é toda nova, mas sim o que sobrou após uma mudança de condições (e.g., máquinas quebrando, funcionários saindo).
Mistura de unidades de tempo: Horas e minutos, ou dias e meses, exigindo conversão.
Cálculos com porcentagens ou frações: A tarefa pode ser dada em percentual concluído ou restante.
Este tipo de problema é uma armadilha comum em concursos. A chave é restringir a análise apenas ao trabalho que falta ser feito e às condições para realizá-lo.
(Baseado em) Cinco caminhões iguais, fazendo uma viagem por dia, conseguiriam transportar toda a produção de soja de uma fazenda ao mercado em 12 dias. O transporte foi iniciado e, no final do terceiro dia, dois caminhões enguiçaram. Os outros caminhões transportaram o restante da soja em mais:
Solução (Método 1: Com Fração do Trabalho) 1º Passo:
Grandezas: Caminhões, Dias, Soja (fração do trabalho).
Informação Inicial: 5 caminhões fariam o total em 12 dias.
Trabalho Realizado: Em 3 dias, 5 caminhões fizeram $\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ da soja.
Trabalho Restante: $\frac{4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ da soja.
Condições do Restante: 5 - 2 = 3 caminhões.
Valor Desconhecido: Dias para 3 caminhões transportarem $\frac{3}{4}$ da soja (vamos chamar de 'x').
2º Passo: Tabela de Dados
CaminhõesDiasSoja (fração) | ||
5 | 3 | 1/4 |
3 | x | 3/4 |
Simplificação (Opcional): A coluna "Soja" pode ser simplificada cortando os denominadores iguais (4).
CaminhõesDiasSoja | ||
5 | 3 | 1 |
3 | x | 3 |
3º Passo: Análise da Proporcionalidade (em relação aos Dias 'x')
Coloque uma seta para baixo na coluna dos Dias (ex: indicando aumento).
Caminhões vs. Dias: Menos caminhões (de 5 para 3) significam mais dias para o serviço. Inversamente proporcionais. (Seta para cima em Caminhões).
Soja vs. Dias: Mais soja para transportar (de 1 para 3) significa mais dias. Diretamente proporcionais. (Seta para baixo em Soja).
Tabela com Setas (Visualização):
CaminhõesDias (↓)Soja | ||
5 (↑) | 3 | 1 (↓) |
3 | x | 3 |
4º Passo: Montar e Resolver a Equação
Razão da incógnita: $\dfrac{3}{x}$.
Outras razões multiplicadas (invertendo a inversa): $\qquad \dfrac{3}{x} = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{1}{3}$
Simplificando (cortar 3 com 3): $\qquad \dfrac{3}{x} = \dfrac{1}{5}$
Multiplicando cruzado: $1x = 3 \times 5$ $\boxed{x = 15}$
Resposta: Os caminhões restantes transportaram a soja em mais 15 dias.
Solução (Método 2: Comparando o Trabalho Restante Ideal vs. Real) Este método é mais rápido para questões como esta.
Trabalho restante para o grupo original: Se os 5 caminhões não tivessem enguiçado, o trabalho restante (após 3 dias) levaria $12 - 3 = 9$ dias para ser concluído pelos 5 caminhões.
Nova situação para o trabalho restante: Agora, temos apenas 3 caminhões para fazer esse mesmo trabalho restante.
Tabela para o trabalho restante:
CaminhõesDias | |
5 | 9 |
3 | x |
Análise: Menos caminhões (de 5 para 3) significam mais dias. São inversamente proporcionais. Equação: $\qquad \dfrac{5}{3} = \dfrac{x}{9}$ $3x = 5 \times 9$ $3x = 45$ $\boxed{x = 15}$
Resposta: A soja restante foi transportada em mais 15 dias. Ambos os métodos chegam ao mesmo resultado, o que reforça a confiança na solução.
Muitos problemas, especialmente em concursos, fornecem dados em unidades diferentes ou em formatos que exigem conversão (ex: horas e minutos). Sempre converta todas as unidades para uma mesma base antes de iniciar os cálculos para evitar erros.
Exemplo: Converter horas para minutos
2 horas e 30 minutos = $2 \times 60 + 30 = 120 + 30 = 150$ minutos.
7 horas e 30 minutos = $7 \times 60 + 30 = 420 + 30 = 450$ minutos.
2 horas e 40 minutos = $2 \times 60 + 40 = 120 + 40 = 160$ minutos.
Às vezes, os problemas de Regra de Três podem conter informações que não são úteis para a resolução. Identificá-las e descartá-las simplifica o processo.
Exemplo: No problema da dosagem de remédio, o intervalo de tempo de 8 horas era irrelevante, pois não se alterava.
Exemplo: No problema da piscina, o volume de 24.000 L era irrelevante se o volume era o mesmo nas duas situações.
Exemplo: No problema dos operários transportando areia, o tempo de 2 horas era irrelevante se permanecia o mesmo nas duas situações.
A Regra de Três é uma das maneiras mais eficientes e intuitivas de calcular porcentagens.
Lógica: O valor total (o "todo") sempre corresponde a 100%.
(Baseado em) Quanto é 30% de 200?
Solução: 1º Passo: Identificar grandezas e valores.
Grandezas: Porcentagem (%) e Valor.
Valores Conhecidos: 100% (o todo), 200 (o todo), 30% (a porcentagem desejada).
Valor Desconhecido: 'x' (o valor correspondente a 30%).
2º Passo: Tabela de Dados
Porcentagem (%)Valor | |
100 | 200 |
30 | x |
3º Passo: Análise da Proporcionalidade
Se a porcentagem diminui (de 100% para 30%), o valor correspondente também diminuirá.
São diretamente proporcionais.
4º Passo: Montar e Resolver a Equação
$\qquad \dfrac{100}{30} = \dfrac{200}{x}$
Multiplicando cruzado: $100x = 30 \times 200$ $100x = 6000$ $x = \dfrac{6000}{100}$ $\boxed{x = 60}$
Resposta: 30% de 200 é 60.
(Baseado em) Um senhor pegou emprestado R$ 3.000 para quitar uma dívida, mas gastou R$ 600 inesperadamente com seu carro. Quantos por cento esse senhor gastou do total?
Solução: 1º Passo:
Grandezas: Valor (R$) e Porcentagem (%).
Valores Conhecidos: R$ 3.000 (o todo), 100% (o total), R$ 600 (o gasto).
Valor Desconhecido: Porcentagem que R$ 600 representa (vamos chamar de 'x').
2º Passo: Tabela de Dados
Valor (R$)Porcentagem (%) | |
3000 | 100 |
600 | x |
3º Passo:
Se o valor diminui (de R$ 3000 para R$ 600), a porcentagem correspondente também diminuirá.
São diretamente proporcionais.
4º Passo:
$\qquad \dfrac{3000}{600} = \dfrac{100}{x}$
Multiplicando cruzado: $3000x = 600 \times 100$ $3000x = 60000$ $x = \dfrac{60000}{3000}$ $\boxed{x = 20}$
Resposta: O senhor gastou 20% do total.
Em problemas de Regra de Três, especialmente os compostos, os números podem ser grandes. Simplificar as frações nas colunas da tabela antes de montar a equação final pode economizar muito tempo e reduzir a chance de erros de cálculo.
Exemplo: Se você tem $\dfrac{3000}{4500}$ na coluna de "Residências", pode dividir o numerador e o denominador por 1500, obtendo $\dfrac{2}{3}$. Isso torna a multiplicação muito mais simples.
Alguns problemas, principalmente aqueles que envolvem pessoas ou quantidades discretas, podem resultar em números decimais. Nestes casos, o contexto do problema deve guiar o arredondamento.
Exemplo: Se para produzir 500 máscaras são necessários 21,7 funcionários, você não pode contratar 0,7 de um funcionário. Portanto, é necessário arredondar para cima, precisando de 22 funcionários.
Para resolver uma regra de três na calculadora, basta aplicar o princípio da multiplicação cruzada e da divisão. Se você tem a proporção $\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{X}$:
Multiplique os valores conhecidos na diagonal: $B \times C$.
Divida o resultado pelo valor que está na diagonal da incógnita: $(B \times C) \div A$.
O resultado será o valor desconhecido (X). Exemplo: $\dfrac{5}{8} = \dfrac{120}{x} \implies x = (8 \times 120) \div 5 = 960 \div 5 = 192$.
A Regra de Três, seja ela simples ou composta, é uma das ferramentas mais versáteis e fundamentais da matemática. Dominá-la significa não apenas resolver problemas escolares ou de concursos, mas também desenvolver um raciocínio lógico-proporcional que é aplicável em inúmeras situações da vida cotidiana.
Ao seguir os passos didáticos apresentados, praticar com os diversos exemplos e, principalmente, compreender a relação entre as grandezas (direta ou inversa), você estará apto a desvendar qualquer problema que envolva proporcionalidade. Lembre-se das dicas sobre a conversão de unidades, a simplificação de cálculos e, acima de tudo, a atenção à aplicabilidade real da proporcionalidade, pois o mundo nem sempre se comporta de maneira puramente matemática.
Com este guia completo, você tem em mãos o conhecimento necessário para não só resolver, mas também para entender profundamente a Regra de Três, transformando-a em uma de suas maiores aliadas na matemática. Continue praticando, e o sucesso será uma questão de proporção!